Exemple de recurrence double

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Dans ces cas, nous savons à quoi ressemble la solution à la relation de récurrence. Solution: le plus grand diviseur commun de a, b, c et d. notre implémentation factorielle () présente les deux composants principaux qui sont requis pour chaque fonction récursive. Ces racines peuvent être des entiers, ou peut-être des nombres irrationnels (nécessitant la formule quadratique pour les trouver). Encore une fois, nous itérer la relation de récurrence, en construisant jusqu`à l`index (ntext {. Le polynôme caractéristique est (x ^ 2-6x + 9 texte {. Hélas, nous n`avons que la séquence. Le mécanisme d`appel de fonction en Java prend en charge cette possibilité, qui est appelée récursivité. Donc, nous nous soucions vraiment de l`autre partie. Recherchez une définition récursive pour la séquence (a_n ) des chemins d`accès de length (ntext {. Rappelons que la relation de récurrence est une définition récursive sans les conditions initiales.

Cela nous indique que (a_n = (-2) ^ n ) est une solution à la relation de récurrence, comme c`est le cas (a_n = 3 ^ ntext {. Tout comme pour les équations différentielles, trouver une solution peut être délicat, mais vérifier que la solution est correcte est facile. Donc getFib (n-1) va continuer à être appelé jusqu`à n < = 2, puis il va remonter la pile de méthode et puisqu`il a maintenant une valeur pour que getFib (n-1) il appellera le getFib (n-2). Cela, ainsi que les conditions initiales (F_0 = 0 ) et (F1 = 1 ) donnent toute la définition récursive de la séquence. Dans chaque étape, nous multiplions, entre autres choses, une itération précédente de 6. Avant de quitter la technique de la racine caractéristique, nous devrions réfléchir à ce qui pourrait se produire lorsque vous résolvez l`équation caractéristique. En effet, (2 ^ 1 + 1 = 3 texte {,} ) qui est ce que nous voulons. En d`autres termes, nous voulons trouver une fonction de (n ) qui satisfait (a_n-a_ {n-1}-6a_ {n-2} = 0 texte {. Nous pourrions examiner les différences entre les termes: (4, 12, 36, 108, ldotstext{.

Pour vérifier que notre solution proposée satisfait la relation de récurrence, essayez de la brancher. Supposons que (r ^ n ) et (q ^ n ) soient les deux solutions à une relation de récurrence du formulaire (a_n = alpha a_ {n-1} + beta a_ {n-2} text{. Voici un peu d`une trace abrégée de la façon dont votre calcul fonctionne. Supposons que nous voulons résoudre une relation de récurrence exprimée comme une combinaison des deux termes précédents, tels que (a_n = a_ {n-1} + 6a_{n-2} text{. Le code ci-dessus serait fondamentalement faire une profondeur d`abord (en prenant les enfants de gauche d`abord) traversée à travers cet arbre. Dans l`exemple de séquence arithmétique, nous avons simplifié en multipliant (d ) par le nombre de fois que nous l`ajoutons à (a ) lorsque nous obtenons à (a_ntext {,} ) pour obtenir de (a_n = a + d + d + d + cdots + d ) à (a_n = a + dntext {. En fait, nous avons une somme géométrique avec le premier terme (2 ) et le ratio commun (3 texte {. Il est toujours le cas que (r ^ n ) serait une solution à la relation de récurrence, mais nous ne serons pas en mesure de trouver des solutions pour toutes les conditions initiales en utilisant le formulaire général (a_n = ar_1 ^ n + br_2 ^ ntext {,} ) puisque nous ne pouvons pas distinguer (R_1 ^ n ) et (r_2